pq-Formel – Quadratische Gleichungen in Normalform lösen

Die pq-Formel und ihre Voraussetzung

Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen in der sogenannten Normalform:

x^2 + p*x + q = 0

Dabei hat der quadratische Term den Koeffizienten 1. Die Formel lautet:

x = -p/2 +/- sqrt((p/2)^2 - q)

Sie ist kürzer zu schreiben als die Mitternachtsformel und in der deutschen Schulmathematik weit verbreitet. Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante und entscheidet über die Anzahl der Lösungen.

Von der allgemeinen Form zur Normalform

Liegt eine Gleichung der Form a*x^2 + b*x + c = 0 mit a ungleich 1 vor, muss man sie zuerst durch a dividieren:

x^2 + (b/a)*x + c/a = 0

Daraus liest man ab: p = b/a und q = c/a. Anschließend setzt man in die pq-Formel ein.

Beispiel: 2*x^2 + 6*x + 4 = 0

Division durch 2 ergibt: x^2 + 3*x + 2 = 0, also p = 3 und q = 2.

Anwendung Schritt für Schritt

Gegeben: x^2 - 5*x + 6 = 0

Schritt 1 – Werte ablesen:

p = -5, q = 6

Schritt 2 – Halben p-Wert berechnen:

p/2 = -5/2 = -2.5

Schritt 3 – Diskriminante bestimmen:

(p/2)^2 - q = (-2.5)^2 - 6 = 6.25 - 6 = 0.25

Schritt 4 – Wurzel ziehen:

sqrt(0.25) = 0.5

Schritt 5 – Einsetzen:

x = -(-2.5) +/- 0.5 = 2.5 +/- 0.5
x1 = 2.5 + 0.5 = 3
x2 = 2.5 - 0.5 = 2

Die Lösungen sind x1 = 3 und x2 = 2. Probe: 9 - 15 + 6 = 0 und 4 - 10 + 6 = 0 – beide korrekt.

Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet

Der Term (p/2)^2 - q entspricht der Diskriminante aus der allgemeinen Formel (mit a = 1).

• Ist er positiv: zwei verschiedene reelle Lösungen.
• Ist er null: genau eine reelle Lösung, die Doppelwurzel x = -p/2.
• Ist er negativ: keine reellen Lösungen.

Beispiel für eine Doppelwurzel: x^2 + 4*x + 4 = 0

p = 4, q = 4
(p/2)^2 - q = 4 - 4 = 0
x = -4/2 = -2

Die Parabel berührt die x-Achse bei x = -2.

Typische Fehler bei der pq-Formel

Vorzeichen bei p übernehmen: Die Formel enthält -p/2. Ist p negativ, wird das Vorzeichen positiv. Viele vergessen diesen Schritt.

p/2 falsch berechnen: Wenn p eine ganze Zahl ist, zum Beispiel p = 3, dann ist p/2 = 1.5, nicht 3. Brüche sorgfältig ausrechnen.

Nicht in Normalform gebracht: Wer vergisst, vorher durch a zu dividieren, liest falsche Werte für p und q ab.

pq-Formel oder Mitternachtsformel – was wählen?

Beide Formeln führen zum gleichen Ergebnis. Die pq-Formel ist etwas kompakter, wenn die Gleichung bereits in Normalform vorliegt. Bei a = 1 ist die pq-Formel die schnellere Wahl. Bei anderen Werten von a muss man entweder durch a dividieren oder direkt zur Mitternachtsformel greifen.

In deutschen Schulen wird häufig die pq-Formel gelehrt; in internationalen Kontexten dominiert die abc-Formel (Mitternachtsformel). Beide zu kennen schadet nicht.

Der Rechner auf quadratische-formel-rechner.de akzeptiert alle drei Koeffizienten a, b und c und berechnet intern entweder über die pq- oder die Mitternachtsformel – je nach Eingabe.

Weiteres Übungsbeispiel

Gegeben: x^2 + x - 12 = 0

p = 1, q = -12
(p/2)^2 - q = 0.25 + 12 = 12.25
sqrt(12.25) = 3.5
x = -0.5 +/- 3.5
x1 = 3, x2 = -4

Probe: 9 + 3 - 12 = 0 und 16 - 4 - 12 = 0 – passt.

Zusammenfassung

Die pq-Formel x = -p/2 +/- sqrt((p/2)^2 - q) löst quadratische Gleichungen in Normalform effizient und direkt. Voraussetzung ist, dass der führende Koeffizient 1 ist – bei anderen Werten zuerst dividieren. Die Anzahl der Lösungen ergibt sich aus dem Vorzeichen des Ausdrucks unter der Wurzel.