Formeln
Diskriminante – Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung
Die Diskriminante D entscheidet, ob eine quadratische Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat. Wie D berechnet wird, was D > 0, D = 0 und D < 0 bedeuten und was bei negativer Diskriminante passiert.
Mateusz Viola Inhalt
Die Diskriminante ist der schnellste Weg, um vor dem Rechnen zu wissen, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat. Statt die Wurzel vollständig auszuwerten, betrachtet man nur das Vorzeichen des Ausdrucks unter der Wurzel.
Definition
Für eine quadratische Gleichung in Normalform:
x^2 + p*x + q = 0ist die Diskriminante:
D = (p/2)^2 - qBei allgemeiner Form ax^2 + bx + c = 0 (mit a nicht gleich 0):
D = b^2 - 4*a*cBeide Formeln geben dasselbe Vorzeichen; welche man verwendet, hängt davon ab, in welcher Form die Gleichung vorliegt.
Die drei Fälle
Fall 1: D > 0 – zwei verschiedene reelle Lösungen
Wenn D positiv ist, ist sqrt(D) eine positive reelle Zahl. Die pq-Formel liefert zwei verschiedene Lösungen:
x_1 = -p/2 + sqrt(D)
x_2 = -p/2 - sqrt(D)Da sqrt(D) > 0 ist, gilt x_1 nicht gleich x_2.
Geometrisch: Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei verschiedenen Punkten.
Beispiel: x^2 - 5*x + 4 = 0. D = (5/2)^2 - 4 = 25/4 - 16/4 = 9/4 > 0.
x_(1,2) = 5/2 +/- sqrt(9/4) = 5/2 +/- 3/2x_1 = 4, x_2 = 1.
Fall 2: D = 0 – genau eine (doppelte) reelle Lösung
Wenn D = 0 ist, verschwindet der +/- -Term. Es gibt nur eine Lösung:
x_0 = -p/2Man nennt sie doppelte Nullstelle oder Berührnullstelle.
Geometrisch: Die Parabel berührt die x-Achse in genau einem Punkt (dem Scheitelpunkt) und liegt sonst ganz ober- oder unterhalb der x-Achse.
Beispiel: x^2 - 4*x + 4 = 0. D = (4/2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0.
x_0 = 4/2 = 2Probe: 2^2 - 4*2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0. Stimmt.
Fall 3: D < 0 – keine reelle Lösung
Wenn D negativ ist, ist sqrt(D) nicht reell. Die pq-Formel hat dann keinen reellen Wert.
Geometrisch: Die Parabel liegt vollständig oberhalb (a > 0) oder vollständig unterhalb (a < 0) der x-Achse und schneidet sie nicht.
Beispiel: x^2 + x + 1 = 0. D = (1/2)^2 - 1 = 1/4 - 4/4 = -3/4 < 0.
Keine reellen Lösungen. Die Gleichung hat zwei komplexe Lösungen, die in der Grundschulmathematik nicht verlangt werden.
Diskriminante und Scheitelpunkt
In der Scheitelpunktform f(x) = a*(x - d)^2 + e ist die Verbindung zur Diskriminante besonders anschaulich:
- Der Scheitelpunkt liegt bei y_S = e.
- Für a > 0 und e < 0: Die Parabel öffnet nach oben und der Scheitelpunkt liegt unter der x-Achse, also D > 0.
- Für a > 0 und e = 0: Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse, D = 0.
- Für a > 0 und e > 0: Scheitelpunkt liegt über der x-Achse, die Parabel schneidet sie nicht, D < 0.
Das Vorzeichen von -e/a gibt direkt an, ob Lösungen existieren.
Schnellcheck vor dem Lösen
Bevor man die Formel anwendet, lohnt sich der Diskriminantencheck:
- D berechnen.
- Vorzeichen prüfen.
- Erst bei D >= 0 die Lösungen ausrechnen.
Bei D < 0 ist das Rechnen unnötig – es gibt keine reellen Lösungen. Der Rechner auf dieser Seite zeigt die Diskriminante als eigenen Schritt an und gibt eine klare Rückmeldung, ob und wie viele Lösungen existieren.
Übersicht
| Diskriminante | Anzahl reeller Lösungen | Geometrie |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 (verschieden) | Parabel schneidet x-Achse zweimal |
| D = 0 | 1 (doppelt) | Parabel berührt x-Achse einmal |
| D < 0 | 0 | Parabel schneidet x-Achse nicht |
Diese drei Fälle gelten unabhängig vom Vorzeichen von a – der Koeffizient a beeinflusst nur, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, nicht die Anzahl der Lösungen.
Häufige Fragen
Was ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung?
Die Diskriminante D ist der Ausdruck unter der Wurzel in der Lösungsformel. Bei der pq-Formel ist D = (p/2)^2 - q, bei der abc-Formel D = b^2 - 4*a*c. Ihr Vorzeichen entscheidet, ob die Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat.
Was bedeutet D < 0?
Ist D < 0, gibt es keine reellen Lösungen. Die Gleichung hat dann zwei komplexe (nicht-reelle) Lösungen, die in der Schulmathematik in der Regel nicht weiter behandelt werden. Geometrisch bedeutet D < 0, dass die Parabel die x-Achse nicht schneidet.
Wie berechne ich die Diskriminante bei allgemeiner Form a*x^2 + b*x + c = 0?
D = b^2 - 4*a*c. Das ist identisch mit der Diskriminante der pq-Formel, nur in Koeffizienten der allgemeinen Form ausgedrückt. Teilt man die Gleichung durch a und setzt p = b/a und q = c/a, erhält man D = (p/2)^2 - q = b^2/(4*a^2) - c/a = (b^2 - 4*a*c) / (4*a^2), also dasselbe Vorzeichen.
Quellen
- Lergenmüller, A.; Schmidt, G.: Mathematik – Neue Wege 9. Schroedel, 2019
- Griesel, H.; Postel, H.; Suhr, F.: Elemente der Mathematik 10. Schroedel, 2018
Über die Autorenschaft
Mateusz Viola
Betreiber und redaktionelle Verantwortung quadratische-formel-rechner.de
Themengebiet: Mathematik, Kalenderrechnung, Schaltjahre, Statistik und ISO 8601
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