Biquadratische Gleichung: a*x^4 + b*x^2 + c = 0 per Substitution lösen

Grundidee: Gleichung 4. Grades ohne ungerade Potenzen

Eine biquadratische Gleichung hat die Form:

a*x^4 + b*x^2 + c = 0   (a != 0)

Sie enthält ausschließlich gerade Potenzen von x. Das bedeutet: Wenn x_0 eine Lösung ist, ist auch -x_0 eine Lösung – die Lösungen treten stets symmetrisch auf.

Wegen dieser Struktur lässt sich die Gleichung mit einer Substitution auf eine gewöhnliche quadratische Gleichung zurückführen.

Die Substitutionsmethode

Schritt 1: Substitution einführen

Setze:

u = x^2    (also u >= 0!)

Dann gilt x^4 = (x^2)^2 = u^2. Die Originalgleichung wird zu:

a*u^2 + b*u + c = 0

Das ist eine quadratische Gleichung in u.

Schritt 2: Quadratische Gleichung in u lösen

Wende die übliche Lösungsformel an. Hier die abc-Formel (Mitternachtsformel):

u = (-b +/- sqrt(b^2 - 4*a*c)) / (2*a)

Berechne die Diskriminante:

D = b^2 - 4*a*c

• D > 0: zwei verschiedene u-Werte: u_1 und u_2
• D = 0: ein u-Wert (Doppellösung): u_1 = u_2 = -b/(2*a)
• D < 0: keine reelle Lösung fuer u (und damit auch keine fuer x)

Schritt 3: Resubstitution – x aus u berechnen

Für jeden u-Wert gilt u = x^2, also:

x = +/- sqrt(u)

Wichtig: Da u = x^2, muss u >= 0 gelten. Negative u-Werte liefern keine reellen x-Lösungen.

Fallunterscheidung pro u-Wert:

u-Wert	x-Lösungen
u > 0	x = +sqrt(u) und x = -sqrt(u)
u = 0	x = 0 (Doppelwurzel)
u < 0	keine reelle Lösung

Vollständiges Beispiel

Aufgabe

x^4 - 5*x^2 + 4 = 0

Lösung

Substitution: u = x^2

u^2 - 5*u + 4 = 0

Diskriminante:

D = (-5)^2 - 4*1*4 = 25 - 16 = 9

u-Werte:

u = (5 +/- sqrt(9)) / 2 = (5 +/- 3) / 2

u_1 = (5 + 3) / 2 = 4
u_2 = (5 - 3) / 2 = 1

Resubstitution:

u_1 = 4: x = +/- sqrt(4) = +/- 2
u_2 = 1: x = +/- sqrt(1) = +/- 1

Lösungsmenge: \{-2, -1, 1, 2\}

Probe für x = 2:

2^4 - 5*2^2 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0  ✓

Beispiel mit negativer u-Lösung

x^4 + 3*x^2 - 4 = 0

Substitution u = x^2:

u^2 + 3*u - 4 = 0
D = 9 + 16 = 25

u_1 = (-3 + 5) / 2 =  1  (positiv → zwei x-Lösungen)
u_2 = (-3 - 5) / 2 = -4  (negativ → keine reelle x-Lösung)

Aus u_1 = 1: x = +/- 1

Lösungsmenge: \{-1, 1\} – nur zwei reelle Lösungen, obwohl die Gleichung Grad 4 hat.

Beispiel ohne reelle Lösung

x^4 + x^2 + 1 = 0

Substitution u = x^2:

u^2 + u + 1 = 0
D = 1 - 4 = -3 < 0

Keine reellen u-Werte – also auch keine reellen x-Werte. Die vier Lösungen dieser Gleichung sind komplex.

Schematische Zusammenfassung

a*x^4 + b*x^2 + c = 0
          |
     u = x^2 setzen
          |
   a*u^2 + b*u + c = 0
          |
   abc-Formel anwenden
          |
    u_1, u_2 berechnen
          |
   fuer jedes u:
     u > 0  =>  x = +/- sqrt(u)
     u = 0  =>  x = 0
     u < 0  =>  (kein reelles x)

Hinweis zum Rechner

Der Rechner löst direkt quadratische Gleichungen a*x^2 + b*x + c = 0. Fuer biquadratische Gleichungen nutzt man ihn im Substitutionsschritt: Die Koeffizienten a, b, c der Originalgleichung sind identisch mit den Koeffizienten der Ersatzgleichung in u. Nach dem Ablesen von u_1 und u_2 erfolgt die Resubstitution x = +/- sqrt(u) manuell.