Methoden
Faktorisieren quadratischer Gleichungen – Linearfaktorzerlegung
Wie man eine quadratische Gleichung in ein Produkt aus zwei Linearfaktoren zerlegt, warum das nützlich ist und welche Voraussetzungen dafür erfüllt sein müssen.
Jan-Tristan Rudat Inhalt
Die Linearfaktorzerlegung ist der dritte klassische Lösungsweg für quadratische Gleichungen neben der pq-Formel und der quadratischen Ergänzung. Sie ist weniger ein eigenständiges Lösungsverfahren als eine alternative Darstellungsform, die dann nützlich wird, wenn man mit dem Ergebnis weiterrechnen muss.
Was ist ein Linearfaktor?
Ein Linearfaktor ist ein Ausdruck der Form (x - r), wobei r eine reelle Zahl ist. Er wird null genau dann, wenn x = r gilt – r ist also eine Nullstelle des Ausdrucks.
Für ein quadratisches Polynom mit zwei reellen Nullstellen x1 und x2 gilt:
a*x^2 + b*x + c = a*(x - x1)*(x - x2)Das Produkt auf der rechten Seite nennt man Linearfaktorzerlegung oder Faktorisierung.
Voraussetzung: Nullstellen bekannt
Um zu faktorisieren, braucht man die Nullstellen. Man bestimmt sie zuerst mit der pq-Formel oder dem Rechner:
x_(1,2) = -p/2 +/- sqrt((p/2)^2 - q)Erst wenn x1 und x2 bekannt sind, schreibt man die Faktorform auf.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Gegeben: 2x^2 - 6x + 4 = 0.
Schritt 1 – Auf Normalform bringen (durch 2 dividieren):
x^2 - 3*x + 2 = 0Also p = -3 und q = 2.
Schritt 2 – Nullstellen berechnen:
x_(1,2) = 3/2 +/- sqrt((3/2)^2 - 2)
= 3/2 +/- sqrt(9/4 - 8/4)
= 3/2 +/- sqrt(1/4)
= 3/2 +/- 1/2Ergebnis: x1 = 2, x2 = 1.
Schritt 3 – Faktorform aufschreiben:
2*x^2 - 6*x + 4 = 2*(x - 2)*(x - 1)Probe durch Ausmultiplizieren: 2*(x^2 - 3x + 2) = 2x^2 - 6*x + 4. Stimmt.
Sonderfall: Eine doppelte Nullstelle
Wenn D = 0 ist, fallen beide Nullstellen zusammen: x1 = x2 = x0. Die Faktorform hat dann nur einen Linearfaktor, der aber quadratisch auftritt:
a*(x - x0)^2Beispiel: x^2 - 4*x + 4 = 0, also p = -4, q = 4.
D = (p/2)^2 - q = 4 - 4 = 0. Nullstelle: x0 = 2.
Faktorform: (x - 2)^2. Probe: x^2 - 4*x + 4. Stimmt.
Anwendung: Kürzen von Bruchtermen
Die häufigste Anwendung der Linearfaktorzerlegung ist das Kürzen. Angenommen, man hat den Bruch:
(x^2 - 3*x + 2) / (x - 1)Der Zähler lässt sich faktorisieren: x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1).
Der Bruch wird:
(x - 2)*(x - 1) / (x - 1) = x - 2 (für x ungleich 1)Ohne Faktorisierung wäre das Kürzen nicht möglich. Der Rechner zeigt die Faktorform automatisch an, wenn die Nullstellen reell sind.
Was passiert bei D < 0?
Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen. Das Polynom lässt sich dann über den reellen Zahlen nicht in Linearfaktoren zerlegen. Man schreibt in diesem Fall einfach, dass keine reelle Faktorisierung existiert.
Beispiel: x^2 + x + 1 = 0. D = (1/2)^2 - 1 = 1/4 - 1 = -3/4 < 0.
Keine reellen Nullstellen, keine reelle Faktorisierung möglich.
Zusammenhang mit dem Satz von Vieta
Multipliziert man (x - x1)*(x - x2) aus, erhält man:
x^2 - (x1 + x2)*x + x1*x2Das bestätigt die Vieta-Formeln: p = -(x1 + x2) und q = x1*x2. Linearfaktorzerlegung und Vieta-Satz sind zwei Seiten derselben Münze.
Häufige Fragen
Was bedeutet Faktorisieren bei einer quadratischen Gleichung?
Faktorisieren bedeutet, die quadratische Gleichung a*x^2 + b*x + c in ein Produkt a*(x - x1)*(x - x2) umzuschreiben, wobei x1 und x2 die Nullstellen sind. Diese Darstellung heißt Linearfaktorzerlegung und ist äquivalent zur ursprünglichen Gleichung.
Kann ich immer faktorisieren?
Über den reellen Zahlen nur dann, wenn die Gleichung reelle Lösungen hat, also wenn die Diskriminante D >= 0 ist. Bei D < 0 gibt es keine reellen Linearfaktoren. Über den komplexen Zahlen ist jedes reelle Polynom faktorisierbar, aber das ist in der Schulmathematik in der Regel nicht gefragt.
Wozu brauche ich die Linearfaktorzerlegung?
Hauptsächlich zur Vereinfachung von Bruchtermen, bei der Kurvendiskussion und beim Lösen von Gleichungen höheren Grades. Wenn ein Faktor (x - x1) sowohl im Zähler als auch im Nenner eines Bruchs auftaucht, lässt er sich kürzen – das funktioniert nur in Faktorform, nicht in Summenform.
Quellen
- Kroll, W.; Reiffert, G.; Vaupel, J.: Lambacher Schweizer Mathematik 10. Klett, 2021
- Strick, H.K.: Mathematik ist schön. Springer, 2017
Über die Autorenschaft
Jan-Tristan Rudat
Redakteur quadratische-formel-rechner.de
Themengebiet: Generationen, Kulturgeschichte, Sternzeichen, Pop-Phänomene rund ums Alter
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