Quadratische Gleichung ohne Konstante: a*x^2 + b*x = 0 per Ausklammern

Der Spezialfall: kein konstantes Glied

Eine quadratische Gleichung der Form:

a*x^2 + b*x = 0   (mit a != 0, b != 0)

besitzt kein konstantes Glied – c = 0. Das macht die Lösung einfacher als die allgemeine Formel vermuten lässt: Man braucht weder die pq-Formel noch die Mitternachtsformel. Ausklammern reicht.

Lösungsweg: Ausklammern und Nullprodukt

Schritt 1: x ausklammern

Beide Terme links enthalten den Faktor x:

a*x^2 + b*x = 0
x * (a*x + b) = 0

Schritt 2: Satz vom Nullprodukt anwenden

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist:

x = 0              (erster Faktor)
a*x + b = 0        (zweiter Faktor)

Schritt 3: Zweite Gleichung lösen

a*x + b = 0
a*x     = -b
x       = -b / a

Ergebnis

x_1 = 0
x_2 = -b / a

Lösungsmenge: \{0, -b/a\}

Falls b = 0 zusätzlich gilt, fallen beide Lösungen auf x = 0 zusammen (Doppelwurzel).

Beispiele

Beispiel 1: Standardfall

3*x^2 + 6*x = 0
x * (3*x + 6) = 0

x_1 = 0
3*x + 6 = 0  =>  x = -6/3 = -2
x_2 = -2

Lösungsmenge: \{-2, 0\}

Probe:

• x = 0: 30 + 60 = 0 ✓
• x = -2: 34 + 6(-2) = 12 - 12 = 0 ✓

Beispiel 2: Negativer Koeffizient

-5*x^2 + 15*x = 0
x * (-5*x + 15) = 0

x_1 = 0
-5*x + 15 = 0  =>  x = 15/5 = 3
x_2 = 3

Lösungsmenge: \{0, 3\}

Beispiel 3: Gleichung erst umformen

Nicht immer steht die Gleichung direkt in der Form a*x^2 + b*x = 0. Manchmal muss man zuerst umformen:

4*x^2 = 8*x
4*x^2 - 8*x = 0      (auf eine Seite bringen!)
x * (4*x - 8) = 0

x_1 = 0
4*x - 8 = 0  =>  x = 2
x_2 = 2

Wichtig: Nie einfach durch x dividieren, wenn x = 0 eine mögliche Lösung ist – dann verliert man diese Lösung!

Der häufigste Fehler: Division durch x

Viele teilen beide Seiten durch x:

4*x^2 = 8*x    |: x     ← FALSCH, wenn x = 0 moeglich
4*x   = 8
x     = 2

Das liefert nur x = 2 und verschweigt x = 0. Der Satz vom Nullprodukt nach dem Ausklammern ist der korrekte Weg.

Geometrische Bedeutung

Die Gleichung a*x^2 + b*x = 0 entspricht der Parabel y = a*x^2 + b*x. Der Ursprung (0, 0) liegt immer auf der Parabel, weil y(0) = 0. Die zweite Nullstelle liegt bei x = -b/a.

Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich genau zwischen den beiden Nullstellen:

x_Scheitel = (0 + (-b/a)) / 2 = -b / (2*a)

Das ist konsistent mit der allgemeinen Scheitelformel -b / (2*a) aus der abc-Formel.

Vergleich mit der allgemeinen Formel

Für c = 0 vereinfacht sich die abc-Formel (Mitternachtsformel) ebenfalls auf dieses Ergebnis:

x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4*a*0)) / (2*a)
  = (-b +/- sqrt(b^2)) / (2*a)
  = (-b +/- b) / (2*a)

x_1 = (-b + b) / (2*a) = 0
x_2 = (-b - b) / (2*a) = -2*b / (2*a) = -b / a

Der Ausklammer-Weg ist deutlich schneller und fehleranfälliger als der Formelweg. Der Rechner zeigt bei c = 0 ebenfalls den direkten Ausklammerpfad.