Komplexe Lösungen bei quadratischen Gleichungen – wenn D kleiner null ist

Die Diskriminante entscheidet

Jede quadratische Gleichung a*x^2 + b*x + c = 0 führt auf die Diskriminante:

D = b^2 - 4*a*c

Drei Fälle sind möglich:

• D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen
• D = 0: genau eine reelle Lösung (Doppellösung)
• D < 0: keine reellen Lösungen – aber zwei komplexe Lösungen

Dieser Ratgeber behandelt den dritten Fall.

Warum gibt es keine reellen Lösungen?

Geometrisch bedeutet D < 0, dass die zugehörige Parabel y = a*x^2 + b*x + c die x-Achse nicht schneidet. Sie liegt vollständig oberhalb (bei a > 0) oder unterhalb (bei a < 0) der x-Achse.

Es gibt also keinen reellen Wert x, für den die Gleichung null ergibt. Im Rahmen der reellen Zahlen ist die Gleichung unlösbar.

Die imaginäre Einheit

Um trotzdem eine Lösung angeben zu können, erweitert man das Zahlensystem auf die komplexen Zahlen. Das zentrale Element ist die imaginäre Einheit:

i^2 = -1

Damit lässt sich die Wurzel aus einer negativen Zahl schreiben:

sqrt(-9) = sqrt(9) * sqrt(-1) = 3*i
sqrt(-5) = sqrt(5) * i

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl hat die Form:

z = u + v*i

Dabei ist u der Realteil und v der Imaginärteil. Wenn v = 0 ist, ist die Zahl reell. Wenn u = 0 ist, spricht man von einer rein imaginären Zahl.

Zwei komplexe Zahlen, die sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden, nennt man konjugiert komplex:

z = u + v*i  und  z* = u - v*i

Lösungen bei negativer Diskriminante

Die Mitternachtsformel gilt auch für komplexe Lösungen:

x = (-b +/- sqrt(D)) / (2*a)

Wenn D < 0, schreibt man:

sqrt(D) = sqrt(-|D|) = sqrt(|D|) * i

Das Ergebnispaar lautet dann:

x1 = (-b + sqrt(|D|)*i) / (2*a) = -b/(2*a) + (sqrt(|D|)/(2*a))*i
x2 = (-b - sqrt(|D|)*i) / (2*a) = -b/(2*a) - (sqrt(|D|)/(2*a))*i

Die beiden Lösungen sind konjugiert komplex – sie teilen denselben Realteil und haben entgegengesetzte Imaginärteile.

Beispiel

Gegeben: x^2 + 2*x + 5 = 0

Koeffizienten: a = 1, b = 2, c = 5

Diskriminante:

D = 2^2 - 4*1*5 = 4 - 20 = -16

Da D < 0:

sqrt(-16) = 4*i
x = (-2 +/- 4*i) / 2
x1 = -1 + 2*i
x2 = -1 - 2*i

Probe für x1 = -1 + 2*i:

(-1 + 2*i)^2 + 2*(-1 + 2*i) + 5
= (1 - 4*i + 4*i^2) + (-2 + 4*i) + 5
= (1 - 4*i - 4) + (-2 + 4*i) + 5
= -3 - 4*i - 2 + 4*i + 5
= 0

Die Probe geht auf: x1 ist eine gültige Lösung.

Bedeutung im Studium

In der Ingenieursmathematik und Physik sind komplexe Lösungen keine Ausnahme, sondern Alltag. Schwingungskreise, Differentialgleichungen und Signalverarbeitung arbeiten routinemäßig mit komplexen Zahlen. Das Konzept, das hier mit quadratischen Gleichungen beginnt, zieht sich durch die gesamte höhere Mathematik.

Der Rechner auf quadratische-formel-rechner.de zeigt bei negativer Diskriminante die komplexen Lösungen mit Realteil und Imaginärteil getrennt an.

Zusammenfassung

Wenn D < 0, hat eine quadratische Gleichung keine reellen Lösungen. Im erweiterten Zahlensystem der komplexen Zahlen existieren genau zwei konjugiert komplexe Lösungen. Sie werden durch Einführung der imaginären Einheit i mit i^2 = -1 berechnet. Die Mitternachtsformel gilt dabei unverändert – nur der Ausdruck unter der Wurzel wird negativ.