Lösung einer quadratischen Gleichung prüfen – Probe Schritt für Schritt

Was ist die Probe und warum ist sie wichtig?

Nach dem Lösen einer quadratischen Gleichung steht man mit einem oder zwei Zahlenwerten da. Aber sind diese Werte auch wirklich korrekt? Genau das beantwortet die Probe: Man setzt die gefundene Lösung zurück in die Ausgangsgleichung ein und prüft, ob die Gleichung aufgeht, also ob die linke Seite tatsächlich null ergibt.

Die Probe ist kein optionaler Bonusschritt. Sie ist die einzige Möglichkeit, einen Rechenfehler aus dem eigenen Lösungsweg aufzudecken, ohne die gesamte Aufgabe von vorne beginnen zu müssen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Probe

Schritt 1: Ausgangsgleichung aufschreiben

Immer mit der Originalgleichung in Standardform arbeiten, nicht mit einer umgestellten Zwischenform.

Beispiel:

x^2 - 5*x + 6 = 0

Schritt 2: Berechnete Lösung einsetzen

Angenommen, man hat x1 = 3 und x2 = 2 berechnet. Einsetzen für x1 = 3:

3^2 - 5*3 + 6
= 9 - 15 + 6
= 0

Das Ergebnis ist null. Die Probe geht auf.

Schritt 3: Zweite Lösung separat prüfen

Jetzt für x2 = 2:

2^2 - 5*2 + 6
= 4 - 10 + 6
= 0

Auch hier stimmt das Ergebnis. Beide Lösungen sind korrekt.

Probe bei nicht-ganzzahligen Lösungen

Bei irrationalen Lösungen wird die Probe etwas aufwändiger. Gegeben sei:

x^2 - 4*x + 1 = 0

Die Lösungen lauten:

x = 2 +/- sqrt(3)
x1 = 2 + sqrt(3)
x2 = 2 - sqrt(3)

Probe für x1 = 2 + sqrt(3):

(2 + sqrt(3))^2 - 4*(2 + sqrt(3)) + 1
= (4 + 4*sqrt(3) + 3) - (8 + 4*sqrt(3)) + 1
= 7 + 4*sqrt(3) - 8 - 4*sqrt(3) + 1
= 0

Die Terme mit sqrt(3) heben sich auf. Das Ergebnis ist null.

Bei solchen Rechnungen zahlt sich aus, die Terme in Gruppen (rationale und irrationale) getrennt zu behandeln.

Wann die Probe nicht ausreicht

Die Probe prüft nur, ob der eingesetzte Wert die Gleichung erfüllt. Sie prüft nicht:

• Ob man alle Lösungen gefunden hat (bei D > 0 gibt es zwei Lösungen)
• Ob die Gleichung korrekt aus einer Textaufgabe übersetzt wurde
• Ob Lösungen ggf. durch Definitionsbereiche ausgeschlossen sind

Bei Textaufgaben sollte man nach der Probe zusätzlich prüfen, ob die Lösung im Sachkontext sinnvoll ist: Ein negatives Ergebnis für eine Länge oder Personenanzahl ist mathematisch gültig, sachlich aber unsinnig.

Probe mit dem Rechner vergleichen

Wer seine Ergebnisse absichern möchte, kann den Rechner auf quadratische-formel-rechner.de nutzen. Dort werden die Lösungen mit vollständigem Rechenweg angezeigt. Stimmen die eigenen Lösungen mit denen des Rechners überein und geht die Probe auf, ist das Ergebnis doppelt gesichert.

Sonderfall: Doppellösung

Wenn D = 0 ist, gibt es nur eine Lösung (Doppellösung):

x = -b / (2*a)

Die Probe sieht dann so aus:

Gleichung: x^2 - 6*x + 9 = 0, Lösung: x = 3

3^2 - 6*3 + 9
= 9 - 18 + 9
= 0

Korrekt. Bei einer Doppellösung reicht es, einen Wert einzusetzen – aber beide Lösungen sind identisch.

Zusammenfassung

Die Probe durch Einsetzen ist der einfachste und zuverlässigste Qualitätscheck nach dem Lösen einer quadratischen Gleichung. Sie erfordert keine zusätzlichen Formeln, nur die Bereitschaft, die gefundenen Werte sorgfältig in die Ausgangsgleichung einzusetzen. Wer die Probe zur Gewohnheit macht, findet eigene Fehler, bevor es der Lehrer oder die Prüfungskorrektur tut.