Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen: Modellierung und Lösung

Vom Text zur Gleichung – das Modellierungsschema

Textaufgaben folgen einem Muster. Wer das Muster kennt, löst auch unbekannte Aufgaben systematisch:

1. Variable festlegen – Was ist gesucht? Benenne es klar (z. B. x = Breite des Rechtecks in cm).
2. Beziehungen formulieren – Welche Zusammenhänge nennt der Text? Schreibe sie als Terme.
3. Gleichung aufstellen – Setze die Terme gleich oder nutze eine bekannte Formel.
4. Normalform herstellen – Bringe alles auf a*x^2 + b*x + c = 0.
5. Lösen – Nutze die pq-Formel, abc-Formel oder den Rechner.
6. Ergebnisse prüfen – Passen beide Lösungen zum Sachkontext?

Aufgabentyp 1: Geometrie – Flächeninhalt

Aufgabe

Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von 60 cm^2. Die Länge übertrifft die Breite um 7 cm. Wie breit ist das Rechteck?

Modellierung

x         = Breite (in cm)
x + 7     = Laenge
Flaeche   = x * (x + 7) = 60

Ausmultiplizieren:

x^2 + 7*x = 60
x^2 + 7*x - 60 = 0

Lösung

Diskriminante:

D = 7^2 - 4*1*(-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2

x = (-7 +/- 17) / 2

x_1 = (-7 + 17) / 2 = 5
x_2 = (-7 - 17) / 2 = -12

Sachliche Prüfung: Eine Breite von -12 cm ist nicht möglich. Also gilt x = 5 cm, Länge = 12 cm.

Probe: 5 * 12 = 60 cm^2 ✓

Aufgabentyp 2: Zahlenaufgaben

Aufgabe

Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen beträgt 132. Welche Zahlen sind es?

Modellierung

x       = kleinere Zahl
x + 1   = groessere Zahl
x * (x + 1) = 132

x^2 + x - 132 = 0

Lösung

D = 1 + 4*132 = 529 = 23^2

x = (-1 +/- 23) / 2

x_1 = 11
x_2 = -12

Da natürliche Zahlen gesucht sind, ist x_2 = -12 nicht brauchbar. Die gesuchten Zahlen sind 11 und 12.

Probe: 11 * 12 = 132 ✓

Aufgabentyp 3: Wirtschaft – Gewinnoptimierung

Aufgabe

Ein Unternehmen erzielt bei einem Stückpreis von p Euro (in 10er-Schritten über dem Mindestpreis 20 Euro) den Umsatz:

U(x) = (20 + x) * (100 - 2*x)   mit x = Anzahl der 10-Euro-Schritte

Für welches x beträgt der Umsatz genau 2400 Euro?

Modellierung

(20 + x) * (100 - 2*x) = 2400
2000 - 40*x + 100*x - 2*x^2 = 2400
-2*x^2 + 60*x + 2000 = 2400
-2*x^2 + 60*x - 400 = 0
x^2 - 30*x + 200 = 0      (durch -2 geteilt)

Lösung

D = 900 - 800 = 100

x = (30 +/- 10) / 2

x_1 = 20
x_2 = 10

Beide Werte sind positiv und sachlich sinnvoll. Bei x = 10 (Stückpreis 120 Euro): 120 * 80 = 9600 – warte, das passt nicht. Kurz nachrechnen:

• x = 20: (20+20)(100-40) = 4060 = 2400 ✓
• x = 10: (20+10)(100-20) = 3080 = 2400 ✓

Beide Preisstufen liefern den gewünschten Umsatz.

Aufgabentyp 4: Bewegungsaufgaben

Aufgabe

Zwei Züge starten gleichzeitig von Städten, die 120 km auseinanderliegen, und fahren aufeinander zu. Zug A fährt 20 km/h schneller als Zug B. Nach 1 Stunde liegen noch 20 km zwischen ihnen. Wie schnell fährt Zug B?

Modellierung

v       = Geschwindigkeit Zug B (km/h)
v + 20  = Geschwindigkeit Zug A
In 1 Stunde zurueckgelegte Strecke: v + (v + 20) = 2*v + 20
Verbleibende Distanz: 120 - (2*v + 20) = 20

120 - 2*v - 20 = 20
100 - 2*v      = 20
2*v            = 80
v              = 40

Dieses Beispiel ist linear – kein quadratischer Anteil. Modifizieren wir:

Modifizierte Variante

Zug B legt in t Stunden 60 km zurück, Zug A in (t - 0.5) Stunden 90 km:

60 / t = 90 / (t - 0.5)
60 * (t - 0.5) = 90 * t
60*t - 30 = 90*t
-30 = 30*t
t = -1

Wieder kein quadratischer Anteil. Quadratische Gleichungen in Bewegungsaufgaben entstehen typischerweise, wenn die Geschwindigkeit selbst als Produkt zweier Unbekannter auftritt.

Klassische quadratische Variante:

Ein Boot fährt auf einem Fluss 40 km stromaufwärts und 40 km stromabwärts. Die Gesamtfahrzeit beträgt 9 Stunden. Die Strömung beträgt 2 km/h. Wie schnell ist das Boot im Stillwasser?

v = Geschwindigkeit des Bootes im Stillwasser (km/h)
Zeit stromauf:   40 / (v - 2)
Zeit stromab:    40 / (v + 2)
Gesamt:          40/(v-2) + 40/(v+2) = 9

Multipliziere mit (v-2)*(v+2):

40*(v+2) + 40*(v-2) = 9*(v^2 - 4)
40*v + 80 + 40*v - 80 = 9*v^2 - 36
80*v = 9*v^2 - 36
9*v^2 - 80*v - 36 = 0

Hier hilft der Rechner: Koeffizienten a = 9, b = -80, c = -36 eingeben.

D = 6400 + 4*9*36 = 6400 + 1296 = 7696
sqrt(7696) = 87.73...

v = (80 +/- 87.73) / 18

v_1 = 167.73 / 18 = 9.32 (plausibel)
v_2 = -7.73 / 18  < 0   (negativ, nicht moeglich)

Das Boot fährt etwa 9.3 km/h im Stillwasser.

Checkliste für Textaufgaben

• Variable klar benannt und Einheit angegeben?
• Alle Beziehungen aus dem Text in die Gleichung übernommen?
• Auf Normalform gebracht?
• Beide Lösungen auf sachliche Plausibilität geprüft?
• Antwort im vollständigen Satz mit Einheit formuliert?

Der Rechner übernimmt das Rechnen – das Modellieren und Prüfen bleibt deine Aufgabe.