Reinquadratische Gleichung: a*x^2 + c = 0 ohne lineares Glied

Was ist eine reinquadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form:

a*x^2 + b*x + c = 0

Von einer reinquadratischen Gleichung spricht man, wenn der Koeffizient b = 0 ist. Die Gleichung vereinfacht sich dann auf:

a*x^2 + c = 0

Das lineare Glied fehlt vollständig. Deshalb sind die beiden möglichen Lösungen stets symmetrisch um den Ursprung – entweder +x_0 und -x_0, oder es gibt gar keine reelle Lösung.

Lösungsweg Schritt für Schritt

Schritt 1: Umformen

Stelle x^2 frei:

a*x^2 + c = 0
a*x^2      = -c
x^2        = -c / a

Schritt 2: Vorzeichen prüfen

Jetzt kommt der entscheidende Schritt – prüfe, ob -c / a positiv, null oder negativ ist:

Wert von -c/a	Anzahl reeller Lösungen
positiv	2 (symmetrisch)
gleich 0	1 (Doppellösung x = 0)
negativ	0 (keine reelle Lösung)

Schritt 3: Wurzel ziehen

Falls -c / a > 0:

x = +/- sqrt(-c / a)

Drei Beispiele

Beispiel 1: Zwei Lösungen

3*x^2 - 12 = 0
3*x^2       = 12
x^2         = 4
x           = +/- sqrt(4) = +/- 2

Lösungsmenge: \{-2, 2\}

Beispiel 2: Genau eine Lösung

5*x^2 = 0
x^2   = 0
x     = 0

Lösungsmenge: \{0\} – der Scheitelpunkt liegt genau auf der x-Achse.

Beispiel 3: Keine reelle Lösung

2*x^2 + 8 = 0
2*x^2     = -8
x^2       = -4

Negative Zahl unter der Wurzel – in den reellen Zahlen nicht lösbar. Im Komplexen: x = +/- 2i.

Warum funktioniert das?

Quadrieren liefert stets ein nicht-negatives Ergebnis. Deshalb kann x^2 nie einen negativen Wert annehmen. Ist -c / a negativ, widerspricht das dieser Eigenschaft – keine reelle Zahl erfüllt dann die Gleichung.

Grafische Deutung

Eine reinquadratische Gleichung a*x^2 + c = 0 entspricht der Parabel y = a*x^2 + c, deren Scheitel auf der y-Achse liegt (x-Koordinate des Scheitels = 0). Die Anzahl der Nullstellen hängt davon ab, ob und wie die Parabel die x-Achse schneidet:

• c < 0, a > 0: Parabel schneidet die x-Achse an zwei Punkten (+/- sqrt(-c/a))
• c = 0: Parabel berührt die x-Achse im Ursprung
• c > 0, a > 0: Parabel liegt komplett über der x-Achse

Schnelltest für den Rechner

Wenn du der Rechner für eine reinquadratische Gleichung nutzen möchtest, trage b = 0 ein. Der Rechenweg zeigt dann, dass der Term b*x herausfällt und die Lösung direkt über x^2 = -c/a erfolgt. Das spart Schritte gegenüber der vollständigen pq-Formel oder abc-Formel.

Häufige Fehler

Fehler 1: Minus vergessen

4*x^2 - 36 = 0
x^2 = 36/4 = 9     ← korrekt
x   = +/- 3        ← korrekt

ABER:
4*x^2 + 36 = 0
x^2 = -9           ← keine reelle Lösung, nicht x = +/- 3!

Fehler 2: Nur eine Lösung angeben

Aus x^2 = 9 folgt x = +3 UND x = -3. Wer nur x = 3 schreibt, verliert die zweite Lösung.

Fehler 3: Division durch Null

Wenn a = 0, ist die Gleichung gar nicht mehr quadratisch. Stelle sicher, dass a != 0.