Methoden
Satz von Vieta – Summe und Produkt der Nullstellen
Der Satz von Vieta verknüpft die Nullstellen einer quadratischen Gleichung mit ihren Koeffizienten. Wie die Formeln x1+x2=-p und x1*x2=q funktionieren und wofür man sie braucht.
Mateusz Viola Inhalt
François Vieta, ein französischer Mathematiker des 16. Jahrhunderts, erkannte eine elegante Verbindung zwischen den Wurzeln einer Gleichung und ihren Koeffizienten. Für quadratische Gleichungen lassen sich daraus zwei nützliche Rechenregeln ableiten, die in der Schulmathematik häufig als Probe oder als Kurzlösungsweg eingesetzt werden.
Die beiden Vieta-Formeln
Gegeben sei die Normalform einer quadratischen Gleichung:
x^2 + p*x + q = 0Wenn x1 und x2 die beiden Lösungen sind, gelten folgende Beziehungen:
x1 + x2 = -p
x1 * x2 = qDas ist der vollständige Satz von Vieta für Gleichungen zweiten Grades.
Herleitung aus dem Linearfaktorprodukt
Die Herleitung ist kurz. Wenn x1 und x2 Lösungen sind, lässt sich die Gleichung auch schreiben als:
(x - x1) * (x - x2) = 0Ausmultiplizieren ergibt:
x^2 - (x1 + x2)*x + x1*x2 = 0Koeffizientenvergleich mit x^2 + p*x + q = 0 liefert:
p = -(x1 + x2) => x1 + x2 = -p
q = x1 * x2Kein Rechentrick, nur direkter Vergleich.
Anwendung als Probe
Die häufigste Anwendung in der Schule ist die Probe nach dem Lösen mit der pq-Formel. Man berechnet x1 und x2, addiert und multipliziert sie, und prüft, ob die Vieta-Formeln stimmen.
Beispiel: x^2 - 5*x + 6 = 0, also p = -5, q = 6.
Die pq-Formel liefert x1 = 3 und x2 = 2.
Probe mit Vieta:
x1 + x2 = 3 + 2 = 5 = -(-5) = -p ✓
x1 * x2 = 3 * 2 = 6 = q ✓Beide Bedingungen erfüllt – das Ergebnis ist korrekt.
Anwendung als Lösungsweg bei ganzzahligen Koeffizienten
Wenn p und q ganze Zahlen sind, kann man manchmal durch Probieren zwei Zahlen finden, deren Summe -p und deren Produkt q ist. Das ist schneller als die Formel, wenn die Lösungen ganze Zahlen oder einfache Brüche sind.
Beispiel: x^2 + x - 12 = 0, also p = 1, q = -12.
Gesucht: zwei Zahlen mit Summe -1 und Produkt -12. Kandidaten: 3 und -4.
3 + (-4) = -1 = -p ✓
3 * (-4) = -12 = q ✓Also x1 = 3 und x2 = -4. Der Rechner zeigt denselben Rechenweg, wenn man die Gleichung eingibt.
Verallgemeinerung: a ungleich 1
Für ax^2 + bx + c = 0 mit a nicht gleich 0 gelten:
x1 + x2 = -b/a
x1 * x2 = c/aMan muss also immer zuerst durch a dividieren oder die Formeln mit b/a und c/a verwenden. Vergisst man das, bekommt man falsche Werte.
Beispiel: 2x^2 - 8x + 6 = 0. Hier ist a = 2, b = -8, c = 6.
x1 + x2 = -(-8)/2 = 4
x1 * x2 = 6/2 = 3Durch Probieren: 1 + 3 = 4 und 1 * 3 = 3, also x1 = 1 und x2 = 3. Probe: 21^2 - 81 + 6 = 0. Stimmt.
Grenzen der Methode
Der Satz von Vieta ist ein Beziehungssatz, kein Lösungsverfahren. Er sagt, welche Eigenschaft die Lösungen haben müssen – er liefert sie aber nicht automatisch. Bei nicht-ganzzahligen oder irrationalen Lösungen muss man trotzdem auf die pq-Formel oder die quadratische Ergänzung zurückgreifen. Die Vieta-Formeln eignen sich dann ausschließlich als Probe.
Häufige Fragen
Was besagt der Satz von Vieta für quadratische Gleichungen?
Für die Gleichung x^2 + p*x + q = 0 mit den Lösungen x1 und x2 gilt: x1 + x2 = -p (Summe der Lösungen ist gleich dem negativen p-Koeffizienten) und x1 * x2 = q (Produkt der Lösungen ist gleich dem q-Koeffizienten). Der Satz erlaubt es, Lösungen zu überprüfen, ohne die pq-Formel erneut anzuwenden.
Kann ich mit dem Satz von Vieta eine Gleichung lösen?
Nur unter bestimmten Umständen. Wenn man weiß, dass die Summe der Lösungen einen bestimmten Wert hat und das Produkt einen anderen, lässt sich die Gleichung manchmal durch Raten oder systematisches Probieren lösen. In der Schule wird das oft bei ganzzahligen Koeffizienten eingesetzt. Für beliebige Koeffizienten ist die pq-Formel zuverlässiger.
Gilt der Satz von Vieta auch für Gleichungen mit a ungleich 1?
Ja, aber die Formeln sehen leicht anders aus. Für a*x^2 + b*x + c = 0 gilt: x1 + x2 = -b/a und x1 * x2 = c/a. Man bringt die Gleichung zunächst auf Normalform (durch a dividieren), dann gelten die einfachen Formeln mit p und q wieder.
Quellen
- François Viète (Vieta): De aequationum recognitione et emendatione. 1615 (Originalwerk, hist.)
- Bigalke, A.; Köhler, N.: Mathematik 10. Cornelsen, 2020
Über die Autorenschaft
Mateusz Viola
Betreiber und redaktionelle Verantwortung quadratische-formel-rechner.de
Themengebiet: Mathematik, Kalenderrechnung, Schaltjahre, Statistik und ISO 8601
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