Scheitelpunkt als Maximum oder Minimum – Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen

Scheitelpunkt und Extremwert

Jede quadratische Funktion f(x) = a*x^2 + b*x + c beschreibt eine Parabel. Diese Parabel hat genau einen tiefsten oder höchsten Punkt – den Scheitelpunkt. Ob es ein tiefster (Minimum) oder höchster (Maximum) Punkt ist, hängt vom Vorzeichen des Koeffizienten a ab:

• a > 0: Parabel öffnet nach oben, Scheitelpunkt ist ein Minimum
• a < 0: Parabel öffnet nach unten, Scheitelpunkt ist ein Maximum

Dieser Punkt ist der einzige Extremwert der Funktion.

Scheitelpunkt berechnen

Methode 1: Formel direkt anwenden

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts lautet:

x_S = -b / (2*a)

Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen:

y_S = f(x_S) = a*(x_S)^2 + b*x_S + c

Beispiel: f(x) = 2*x^2 - 8*x + 3

Koeffizienten: a = 2, b = -8, c = 3

x_S = -(-8) / (2*2) = 8 / 4 = 2
y_S = 2*(2)^2 - 8*2 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5

Der Scheitelpunkt liegt bei S(2 | -5). Da a = 2 > 0, ist dies ein Minimum.

Methode 2: Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung

Die Scheitelpunktform lautet:

f(x) = a*(x - x_S)^2 + y_S

Man liest x_S und y_S direkt ab. Diese Form entsteht durch quadratische Ergänzung aus der allgemeinen Form und ist besonders nützlich, wenn man die Parabel zeichnen oder den Extremwert ohne Rechnung ablesen möchte.

Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen

Der Scheitelpunkt hängt direkt mit der Diskriminante zusammen:

• D > 0: zwei Nullstellen rechts und links des Scheitelpunkts
• D = 0: Scheitelpunkt liegt genau auf der x-Achse (Nullstelle = Extremstelle)
• D < 0: keine Nullstellen, Parabel berührt die x-Achse nicht

Der Scheitelpunkt liegt immer auf der Symmetrieachse der Parabel bei x = x_S = -b / (2*a). Diese Formel ist dieselbe wie der Mittelwert der beiden Lösungen x1 und x2, sofern sie existieren:

x_S = (x1 + x2) / 2

Extremwertaufgaben

Extremwertaufgaben fragen nach dem größten oder kleinsten Wert einer Größe. Wenn sich eine Situation durch eine quadratische Funktion beschreiben lässt, ist der Scheitelpunkt die Antwort.

Beispiel: Maximaler Flächeninhalt

Ein Rechteck soll aus einem 20 m langen Zaun gebildet werden. Eine Seite nutzt eine Mauer. Gesucht ist die maximale Fläche.

Sei x die Breite des Rechtecks. Die Länge beträgt dann 20 - 2*x (zwei Breitseiten + eine Längsseite).

Die Fläche in Abhängigkeit von x:

A(x) = x * (20 - 2*x) = 20*x - 2*x^2

Umschreiben: A(x) = -2*x^2 + 20*x

Koeffizienten: a = -2, b = 20, c = 0

Da a < 0, hat die Funktion ein Maximum:

x_S = -20 / (2*(-2)) = -20 / (-4) = 5
A(5) = -2*25 + 100 = -50 + 100 = 50

Die maximale Fläche beträgt 50 m^2 bei einer Breite von 5 m.

Beispiel: Gewinnmaximierung

Ein Unternehmen erzielt bei Produktionsmenge x einen Gewinn von:

G(x) = -3*x^2 + 60*x - 200

Koeffizienten: a = -3, b = 60, c = -200

x_S = -60 / (2*(-3)) = 10
G(10) = -3*100 + 600 - 200 = -300 + 600 - 200 = 100

Der maximale Gewinn beträgt 100 Einheiten bei einer Produktionsmenge von 10.

Kontrolle über den Rechner

Wer den Rechenweg für die Nullstellen der Ableitung oder die Scheitelpunktkoordinaten prüfen möchte, kann den Rechner auf quadratische-formel-rechner.de verwenden. Dort lässt sich der Ausdruck -2*x^2 + 20*x als quadratische Gleichung eintragen und der Scheitelpunkt aus den berechneten Größen ableiten.

Zusammenfassung

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist immer ein Extremwert. Seine x-Koordinate lautet x_S = -b / (2*a), die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen. Das Vorzeichen von a bestimmt, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt. Extremwertaufgaben lassen sich lösen, indem man die gesuchte Größe als quadratische Funktion aufstellt und den Scheitelpunkt berechnet.