Wurfparabel und Physik: Quadratische Funktionen in der Mechanik

Bewegungsgleichungen und warum sie quadratisch sind

In der klassischen Mechanik gilt für einen Körper, der vertikal fällt oder geworfen wird:

h(t) = h_0 + v_0 * t - (1/2) * g * t^2

Dabei bedeuten:

Symbol	Bedeutung	Einheit
h(t)	Hoehe zum Zeitpunkt t	m
h_0	Anfangshoehe	m
v_0	Anfangsgeschwindigkeit (positiv = nach oben)	m/s
g	Erdbeschleunigung (9.81 m/s^2)	m/s^2
t	Zeit	s

Der Term (1/2) * g * t^2 macht die Gleichung quadratisch. Er entsteht durch die konstante Erdbeschleunigung, die die Geschwindigkeit kontinuierlich verändert.

Fragestellungen wie “Wann trifft das Objekt auf?” fragen nach t mit h(t) = 0 – das ergibt genau eine quadratische Gleichung in t.

Beispiel 1: Freier Fall vom Turm

Aufgabe

Ein Stein wird vom Rand eines 80 m hohen Turms fallen gelassen (Anfangsgeschwindigkeit null). Wann trifft er auf dem Boden auf?

Modellierung

h_0 = 80 m
v_0 = 0 m/s
h(t) = 0   (Aufprall)

0 = 80 + 0*t - (1/2) * 9.81 * t^2
0 = 80 - 4.905 * t^2
4.905 * t^2 = 80
t^2 = 80 / 4.905 = 16.31
t = sqrt(16.31) = 4.04 s

Negative Lösung entfällt. Der Stein trifft nach rund 4 Sekunden auf.

Beispiel 2: Senkrechter Wurf nach oben

Aufgabe

Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen, Anfangsgeschwindigkeit 15 m/s, Abwurfhöhe 2 m. Wann ist der Ball wieder auf Bodenhöhe (h = 0)?

Modellierung

h(t) = 2 + 15*t - 4.905*t^2 = 0

Umformen auf Normalform:

4.905*t^2 - 15*t - 2 = 0

Koeffizienten: a = 4.905, b = -15, c = -2

Diskriminante:

D = (-15)^2 - 4 * 4.905 * (-2)
  = 225 + 39.24
  = 264.24

sqrt(264.24) = 16.26

t = (15 +/- 16.26) / (2 * 4.905)

t_1 = (15 + 16.26) / 9.81 = 31.26 / 9.81 = 3.19 s  (physikalisch korrekt)
t_2 = (15 - 16.26) / 9.81 = -1.26 / 9.81 = -0.13 s  (vor dem Wurf, entfaellt)

Der Ball ist nach 3.19 Sekunden wieder auf Bodenhöhe.

Beispiel 3: Schiefer Wurf – Wurfweite

Grundgleichungen

Beim schiefen Wurf mit Abwurfwinkel alpha und Anfangsgeschwindigkeit v_0:

x(t) = v_0 * cos(alpha) * t         (horizontal, keine Kraft)
y(t) = v_0 * sin(alpha) * t - (1/2) * g * t^2   (vertikal)

Aufgabe

Ein Projektil wird mit 30 m/s unter 45 Grad abgefeuert. Abschusshöhe = 0. Wie weit fliegt es?

Schritt 1: Wann trifft es auf (y = 0, t > 0)?

v_0 * sin(45°) = 30 * 0.7071 = 21.21 m/s

0 = 21.21*t - 4.905*t^2
0 = t * (21.21 - 4.905*t)

t_1 = 0  (Abschuss)
t_2 = 21.21 / 4.905 = 4.33 s  (Aufprall)

Schritt 2: Horizontale Reichweite:

x = 30 * cos(45°) * 4.33
  = 30 * 0.7071 * 4.33
  = 91.85 m

Die Parabelgestalt der Flugbahn

Eliminiere t aus den Gleichungen des schiefen Wurfs:

Aus x = v_0 * cos(alpha) * t  folgt  t = x / (v_0 * cos(alpha))

Einsetzen in y(t):

y = v_0 * sin(alpha) * x / (v_0 * cos(alpha))
    - (1/2) * g * (x / (v_0 * cos(alpha)))^2

y = tan(alpha) * x - g / (2 * v_0^2 * cos^2(alpha)) * x^2

Das ist eine quadratische Funktion y = A*x^2 + B*x mit:

A = -g / (2 * v_0^2 * cos^2(alpha))   (negativ = Parabel oeffnet nach unten)
B = tan(alpha)

Die Flugbahn ist also eine nach unten geöffnete Parabel – keine Näherung, sondern exaktes Ergebnis der newtonschen Mechanik (ohne Luftwiderstand).

Maximale Wurfhöhe

Der höchste Punkt liegt beim Scheitelpunkt der Parabel. Die Geschwindigkeit in y-Richtung ist dort null:

v_y(t) = v_0*sin(alpha) - g*t = 0
t_Scheitel = v_0 * sin(alpha) / g

Einsetzen in h(t):

h_max = v_0*sin(alpha) * t_Scheitel - (1/2)*g*t_Scheitel^2
      = (v_0 * sin(alpha))^2 / (2*g)

Für das obige Beispiel (v_0 = 30 m/s, alpha = 45°):

h_max = (30 * sin(45°))^2 / (2 * 9.81)
      = (21.21)^2 / 19.62
      = 449.9 / 19.62
      = 22.9 m

Luftwiderstand: Grenze des Modells

Das hier dargestellte Modell gilt ohne Luftwiderstand. In der Realität bremst der Luftwiderstand das Objekt ab – die Flugbahn wird unsymmetrisch und lässt sich nicht mehr mit einer einfachen quadratischen Gleichung beschreiben. Für viele schulische und sportliche Berechnungen (Schüsse, Würfe im Vakuum-Modell) ist die parabelförmige Näherung dennoch gut genug.

Rechner und Physikaufgaben

Wenn du Wurfaufgaben mit dem Rechner lösen willst, bring die Höhengleichung erst auf die Form:

a*t^2 + b*t + c = 0

Trage dann a, b, c ein. Der Rechner gibt beide t-Lösungen aus – die physikalisch relevante ist die positive.